Đáp án bài toán tam giác vuông

Đề bài:

Cho tam giác vuông có ba cạnh a, b, c là số nguyên.

thu-thach-dau-tuan-voi-bai-toan-tam-giac-vuong


Tìm tất cả trường hợp của tam giác vuông này thỏa mãn điều kiện diện tích bằng hai lần chu vi tam giác?

Đáp án:

Đặt a, b là hai cạnh góc vuông và c là cạnh huyền của tam giác đã cho. Vì diện tích tam giác bằng hai lần chu vi, ta có:

ab/2 = 2(a + b + c)

ab/4 = a + b + c 

 (ab/4 - a - b)2 = c2

Theo Pytago ta có a2 + b2 = c2.

Suy ra (ab/4 - a - b)2 = a2 + b2

 a2b2/16 + a2 + b2 + 2ab - a2b/2 - ab2/2 = a2 + b2

a2b2/16 - a2b/2 - ab2/2 + 2ab = 0

ab(ab/16 - a/2 - b/2 + 2) = 0

Vì ab ≠ 0 nên ta có ab - 8a - 8b + 32 = 0. 

Hay ab - 8a - 8b + 64 - 32 = 0 

a (b - 8) - 8(b - 8) = 32

(a - 8)(b - 8) = 32 = 1 x 32 = 8 x 4 = 2 x 16.

Các cặp (a - 8; b - 8) tương ứng là (1; 32), (8; 4), (2; 16).

Suy ra các cặp (a; b) tương ứng là (9; 40), (16; 12) và (10; 24). Từ đó suy ra c tương ứng trong các trường hợp lần lượt là 41; 20 và 26.

Vậy, các trường hợp của tam giác vuông có cạnh (a; b; c) thỏa mãn đề bài là
(9; 40; 41); (16; 12; 20) và (10; 24; 26).

Nguồn: vnexpress.net